Центр масс

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого. Радиус-вектор данной точки задаётся формулой








r





c


=


(


ρ
(



r




)
d
V

)



1



ρ
(



r




)



r




d
V
,


{\displaystyle {\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,}

где




ρ
(



r




)


{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}

— зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях механики и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы.

В случае систем материальных точек и тел с однородной по объёму плотностью в однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:








r





c


=






i



m

i






r





i







i



m

i





,


{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},}

где








r





c




{\displaystyle {\vec {r}}_{c}}

 — радиус-вектор центра масс,








r





i




{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}

 — радиус-вектор i-й точки системы,





m

i




{\displaystyle m_{i}}

 — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:








r





c


=


1
M





V


ρ
(



r




)



r




d
V
,


{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,}




M
=



V


ρ
(



r




)
d
V
,


{\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,}

где




M


{\displaystyle M}

 — суммарная масса системы,




V


{\displaystyle V}

 — объём,




ρ


{\displaystyle \rho }

 — плотность.
Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами





M

i




{\displaystyle M_{i}}

, то радиус-вектор центра масс такой системы





R

c




{\displaystyle R_{c}}

связан с радиус-векторами центров масс тел





R

c
i




{\displaystyle R_{ci}}

соотношением:








R





c


=






i



M

i






R





c
i







i



M

i





.


{\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами





M

1


,

M

2


,
.
.
.

M

N


.


{\displaystyle M_{1},M_{2},…M_{N}.}

Радиус-вектор








R






c

n






{\displaystyle {\vec {R}}_{c_{n}}}




n


{\displaystyle n}

-ной системы:








R






c

n




=







i

n





m


i

n








r






i

n










i

n





m


i

n







=







i

n





m


i

n








r






i

n






M

n




,
 
n
=
1
,
2
,
.
.
.
N
.


{\displaystyle {\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,…N.}








R





c


=






n



(








i

n





m


i

n








r






i

n






M

n






M

n



)






n



M

n





=






i



M

i






R





c
i







i



M

i





.


{\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс плоских однородных фигур

  • У отрезка — середина.
  • У многоугольников :
    • У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
    • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
  • У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
  • У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении





    4

    3
    π





    {\displaystyle {\frac {4}{3\pi }}}

    от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):





x

s


=



V

y



2
π
S





{\displaystyle x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}}

и





y

s


=



V

x



2
π
S





{\displaystyle y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}}

, где





V

x


,

V

y




{\displaystyle V_{x},V_{y}}

— объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси,




S


{\displaystyle S}

— площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур

  • Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружности дополнительного треугольника или с центром Шпикера.

В механике

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:








r





c


=






i






r





i



E

i







i



E

i





,


{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},}

где








r





c




{\displaystyle {\vec {r}}_{c}}

 — радиус-вектор центра масс,








r





i




{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}

 — радиус-вектор i-й частицы системы,





E

i




{\displaystyle E_{i}}

 — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами.

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:








v





c


=



c

2






i



E

i









i






p





i


.


{\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.}

Центр тяжести

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

  • Классическая механика
  • Теоретическая механика
  • Теорема о движении центра масс системы
  • Неваляшка
  • Барицентр
  • Центроид треугольника

Примечания

Литература

  • Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3..

Error: 404 Not Found.

Центр тяжести

Рассказать друзьям:
Смотреть:
Тысяча