Радиан

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС.

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла.

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad.

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду.

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется
набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Связь радиана с другими единицами

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

  • 1 радиан = 1/() оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.

Очевидно, развернутый угол равен





180




,


{\displaystyle 180^{\circ },}

или







π

r

r


=
π


{\displaystyle {\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi }
Смотреть:
Жене, Рудольф

радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / ()) или α[рад] × (180° / π),
α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или





p






{\displaystyle p^{\circ }}

) =







360





2
π




57,295

779513






57





17



44,806




{\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17’44{,}806»}

(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: «Число радиана и порядок шутя пишу наизусть», где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)





p




{\displaystyle p’}

(или 1 рад в минутах) =








360






60




2
π





3437,747




{\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60′}{2\pi }}\approx 3437{,}747′}





p




{\displaystyle p»}

(или 1 рад в секундах) =








360






60




60




2
π




206264

,


8


.


{\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60’\cdot 60»}{2\pi }}\approx 206264{,}8».}

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что





p







{\displaystyle p^{\backprime \backprime }}

(или 1 рад в сотых долях «сантиграда») =







400

100

100


2
π



=
636620.


{\displaystyle {\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.}


Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (





r
a
d



{\displaystyle \mathrm {rad} }

) делаем именованное (





p




,

p


,

p




{\displaystyle p^{\circ },p’,p»}

) и поэтому должны множить на





p




 
(


{\displaystyle p^{\circ }~(}

или





p


,

p


)


{\displaystyle p’,p»)}

;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на





p




 
(


{\displaystyle p^{\circ }~(}
Смотреть:
Белое солнце пустыни

или





p


,

p


)
,


{\displaystyle p’,p»),}

либо же умножать на перевёрнутую
дробь






1

p






 
(


1

p




,


1

p




)
.


{\displaystyle {\frac {1}{p^{\circ }}}~({\frac {1}{p’}},{\frac {1}{p»}}).}

Пример 1. Перевести в радианы





5





43



46


.


{\displaystyle 5^{\circ }43’46».}





α

[

r
a
d

]


5




=



5







p








 

r
a
d

=
0,087

2

6




{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {p^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}}





43


=



43



p




 

r
a
d

=
0,012

5

08




{\displaystyle 43’={\frac {43′}{p’}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}}





46


=



46



p




 

r
a
d

=
0,000

2

23




{\displaystyle 46»={\frac {46»}{p»}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}}






0,099

9

9


 

r
a
d



{\displaystyle \sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad} }




=


,

1
 

r
a
d



{\displaystyle =0{,}1~\mathrm {rad} }

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на





p




:


{\displaystyle p^{\circ }:}

(как правило, этот способ более точен)





46


=



46



60




=


,



77





{\displaystyle 46»={\frac {46»}{60»}}=0{,}{\boldsymbol {77}}’}




43

,



77



=



43

,


77




60




=


,



7295







{\displaystyle 43{,}{\boldsymbol {77}}’={\frac {43{,}77′}{60′}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}





=
5

,



7295







{\displaystyle \sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}




5,729

5




=



5,729

5






p






 

r
a
d

=



5,729

5








57,295








=


,

1
 

r
a
d



{\displaystyle 5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{p^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad} }

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.




a

[




]

1




360





2
π



=
1

57,295

78




=
57

,



29578







{\displaystyle a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }}






,



29578







60


=
17

,



7468





{\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60’=17{,}{\boldsymbol {7468}}’}






,



7468





60


=

44,807




45




{\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {7468}}’\cdot 60»=44{,}807»\approx 45»}

Итого






57





17



45


.


{\displaystyle \approx 57^{\circ }17’45».}
Смотреть:
Гуанчи

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее






,

1
 

r
a
d

 
(

5





43



,

77
)


{\displaystyle 0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43′{,}77)}

, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше






,

01
 

r
a
d

 
(







34



,

38
)


{\displaystyle 0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34′{,}38)}

, — то до шестого знака после запятой:




sin

α

tg

α

α
.


{\displaystyle \sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .}

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы.

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан».

См. также

  • Град, минута, секунда
  • Градус, минута, секунда
  • Оборот (единица измерения)
  • Парсек
  • Стерадиан
  • Тысячная (угол)

Примечания

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
  • Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.


Error: 404 Not Found.

1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Error: 404 Not Found.

Угол в 1 радиан.

Error: 404 Not Found.

Номограмма для перевода радианы/градусы.

Рассказать друзьям: