Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

История

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности далеко опережала своих предшественников.

Обозначения и свойства

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются








(


n
k


)






{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}

или






C

n


k





{\displaystyle \textstyle C_{n}^{k}}

и читаются как «число сочетаний из n элементов по k».

  • Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
  • В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
    • первое и последнее числа равны 1.
    • второе и предпоследнее числа равны n.
    • третье число равно треугольному числу





      T

      n

      1


      =



      n
      (
      n

      1
      )

      2





      {\displaystyle \textstyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}

      , что также равно сумме номеров предшествующих строк.

    • четвёртое число является тетраэдрическим.
    • m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту





      C

      n


      m


      =



      (


      n
      m


      )



      =



      n
      !


      m
      !
      (
      n

      m
      )
      !






      {\displaystyle \textstyle C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}

      .

  • Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:







    (



    n

    1




    )



    +



    (



    n

    2

    1


    )



    +



    (



    n

    3

    2


    )



    +

    =

    F

    n


    .


    {\displaystyle {n-1 \choose 0}+{n-2 \choose 1}+{n-3 \choose 2}+\ldots =F_{n}.}

  • Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
  • Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна




    2

    n




    {\displaystyle 2^{n}}

    .

  • Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом (следствие теоремы Люка).
  • Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
  • Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Цитаты

См. также

  • Треугольник Серпинского
  • Гипотеза Сингмастера

Примечания

Литература

  • Паскаля треугольник // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 230-232. — 352 с.
  • Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.
  • Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). — 200 000 экз.

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Pascal’s Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Построение треугольника Паскаля

Error: 404 Not Found.

Первые 15 строк треугольника Паскаля (n = 0, 1, …, 14)

Error: 404 Not Found.

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Рассказать друзьям:
Смотреть:
Рыбалко, Павел Семёнович